【題目】已知函數(shù),其中.

(Ⅰ) 當(dāng)a=-1時,求證: ;

(Ⅱ) 對任意,存在,使成立,求a的取值范圍.

(其中e是自然對數(shù)的底數(shù),e=2.71828…)

【答案】(Ⅰ)詳見解析(Ⅱ)

【解析】試題分析:

(1)寫出 時的函數(shù)解析式,然后由導(dǎo)函數(shù)求得原函數(shù)的單調(diào)性,最后求得最大值: 即可證得題中的結(jié)論;

(2)將問題轉(zhuǎn)化為 ,利用導(dǎo)函數(shù)的相關(guān)結(jié)論討論最值得到關(guān)于實(shí)數(shù) 的不等式即可求得最終結(jié)果.

試題解析:

(Ⅰ)當(dāng)a=-1時, x>0),

,令,得

當(dāng)時, 單調(diào)遞增;當(dāng)時, 單調(diào)遞減.

故當(dāng)時,函數(shù)取得極大值,也為最大值,所以

所以, ,得證.

(II)原題即對任意,存在,使成立,

只需

設(shè),則,

,則對于恒成立,

所以上的增函數(shù),

于是,即對于恒成立,

所以上的增函數(shù),則

,則,

當(dāng)a≥0時, 的減函數(shù),且其值域?yàn)镽,符合題意.

當(dāng)a<0時, ,由

,則p(x)在上為增函數(shù);由,則p(x)在上為減函數(shù),所以,

從而由,解得

綜上所述,a的取值范圍是.

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選擇自然科學(xué)類

選擇社會科學(xué)類

合計

男生

女生

合計

附: ,其中.

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