Question

11．已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁（0，-2$\sqrt{2}$），F(xiàn)₂（0，2$\sqrt{2}$），離心率e=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
（1）求橢圓C的方程．
（2）一條斜率為-9的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，求線段MN的中點(diǎn)橫坐標(biāo)x₀的取值范圍．
（3）若橢圓C上存在不同兩點(diǎn)關(guān)于直線y=$\frac{1}{9}$x+m對(duì)稱，試求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓c=2$\sqrt{2}$，e=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，求出a，b，即可得出橢圓的方程；
（2）利用點(diǎn)差法，直線l的斜率，可得MN的中點(diǎn)坐標(biāo)，利用MN的中點(diǎn)在橢圓$\frac{{y}^{2}}{9}+{x}^{2}=1$內(nèi)，從而可得線段MN的中點(diǎn)橫坐標(biāo)x₀的取值范圍．
（3）若橢圓C上存在不同兩點(diǎn)關(guān)于直線y=$\frac{1}{9}$x+m對(duì)稱，由（2）知，線段MN的中點(diǎn)在直線y=$\frac{1}{9}$x+m，即可求m的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)橢圓方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$，
由已知c=2$\sqrt{2}$，e=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
解得a=3，b=1，
∴橢圓方程為：$\frac{{y}^{2}}{9}+{x}^{2}=1$；
（2）設(shè)M（x₁，y₂），N（x₂，y₂），MN的中點(diǎn)為P（x₀，t），
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式有：x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2t，
M（x₁，y₂），N（x₂，y₂），代入橢圓方程相減可得k_AB=-$\frac{9{x}_{0}}{t}$=-9
解得t=x₀，
∵M(jìn)N的中點(diǎn)為P（x₀，t）在橢圓$\frac{{y}^{2}}{9}+{x}^{2}=1$內(nèi)，
∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{9}+{{x}_{0}}^{2}＜1$，
∴-$\frac{\sqrt{10}}{10}$＜x₀＜$\frac{\sqrt{10}}{10}$；
（3）若橢圓C上存在不同兩點(diǎn)關(guān)于直線y=$\frac{1}{9}$x+m對(duì)稱，由（2）知，線段MN的中點(diǎn)在直線y=$\frac{1}{9}$x+m，
∴x₀=$\frac{1}{9}$x₀+m，
∴m=$\frac{8}{9}$x₀，
∵-$\frac{\sqrt{10}}{10}$＜x₀＜$\frac{\sqrt{10}}{10}$；
∴-$\frac{4\sqrt{10}}{45}$＜m＜$\frac{4\sqrt{10}}{45}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)差法的運(yùn)用，屬于中檔題．