Question

給出以下命題：
（1）若∫_a^bf（x）dx＞0，則f（x）＞0；   
（2）∫₀^2π|sinx|dx=4；
（3）已知F′（x）=f（x），且F（x）是以T為周期的函數(shù)，則∫₀^af（x）dx=∫_T^a+Tf（x）dx；
（4）

∫

+3 -3

9-x2

dx=

9π

4

．
其中正確命題的個(gè)數(shù)為（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、0

Answer 1

考點(diǎn)：定積分

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)微積分基本定理，得出）∫_b^af（x）dx=F（b）-F（a）＞0，可以看到與f（x）正負(fù)無關(guān)．
（2）注意到sinx在[0，2π]的取值符號(hào)不同，根據(jù)微積分基本運(yùn)算性質(zhì)，化為∫₀^πsinxdx+∫_π^2π（-sinx）dx求解，判斷．
（3）根據(jù)微積分基本定理，兩邊分別求解，再結(jié)合F（a+T）=F（a），F(xiàn)（T）=F（0）判定．
（4）根據(jù)定積分的幾何意義，計(jì)算可得．

解答： 解：對(duì)于（1）由∫_b^af（x）dx=F（b）-F（a）＞0，得F（b）＞F（a），未必f（x）＞0．故（1）錯(cuò)誤．
對(duì)于（2））∫₀^2π|sinx|dx=

∫

π 0

sinxdx

+∫

2π π

(-sinx)dx=-cosx

|

π 0

+cosx

|

2π π

=2+2=4，故（2）正確；
對(duì)于（3）∫₀^af（x）dx=F（a）-F（0），∫_T^a+Tf（x）dx=F（a+T）-F（T）=F（a）-F（0），則∫₀^af（x）dx=∫_T^a+Tf（x）dx；故（3）正確
對(duì)于（4）

∫

+3 -3

9-x2

dx，表示的面積為圓x²+y²=9的面積的二分之一，故

∫

+3 -3

9-x2

dx=

1

2

×π×32=

9π

2

，故（4）錯(cuò)誤
所以其中正確命題的個(gè)數(shù)為2個(gè)，
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題借助于命題真假的判斷與應(yīng)用，考查微積分基本定理，微積分基本運(yùn)算性質(zhì)．屬于中檔題．