Question

18．在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=$2（1+\frac{1}{n}）{a_n}$，n∈N*．
（1）求證：$\{\frac{a_n}{n}\}$是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)之和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=$2（1+\frac{1}{n}）{a_n}$，n∈N*，可得$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}=2×\frac{{a}_{n}}{n}$，即可證明數(shù)列$\{\frac{{a}_{n}}{n}\}$是等比數(shù)列．
（2）由（1）可得：$\frac{{a}_{n}}{n}$=2ⁿ，利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的求和公式．

解答 （1）證明：∵a_n+1=$2（1+\frac{1}{n}）{a_n}$，n∈N*，∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}=2×\frac{{a}_{n}}{n}$，
∴數(shù)列$\{\frac{{a}_{n}}{n}\}$是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2．
（2）解：由（1）可得：$\frac{{a}_{n}}{n}$=2ⁿ，∴a_n=n•2ⁿ．
∴數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)之和S_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2S_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的定義通項(xiàng)公式與求和公式、“錯(cuò)位相減法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．