Question

將函數y=（sinx+cosx）²在區(qū)間（0，+∞）內的全部極值點按從小到大的順序排成數列{a_n}．
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）令b_n=2ⁿa_n，其中n∈N^*，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,數列的函數特性,三角函數的最值

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（I）y=（sinx+cosx）²=1+sin2x，y′=cos2x，令y′=0可求得極值點，從而得到通項公式；
（Ⅱ）表示出b_n，利用錯位相減法即可求得T_n．

解答： 解：（I）y=（sinx+cosx）²=1+sin2x，
y′=cos2x，令y′=0，得其極值點為x=

kπ

2

+

π

4

（k∈Z），
它在區(qū)間（0，+∞）內的全部極值點構成以

π

4

為首項，

π

2

為公差的等差數列，
∴an=

π

4

+（n-1）•

π

2

=（2n-1）•

π

4

；                                  
（II）∵b_n=2ⁿa_n=

π

4

（2n-1）•2ⁿ，
∴T_n=

π

4

[1•2+3•2²+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ]，
2T_n=

π

4

[1•2²+3•2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹]，
兩式相減，得
-T_n=

π

4

[1•2+2•2²+2•2³+…+2•2ⁿ-（2n-1）•2ⁿ⁺¹]，
∴T_n=

π

2

[（2n-3）•2ⁿ+3]，
綜上，數列{b_n}的前n項和T_n=

π

2

[（2n-3）•2ⁿ+3]．

點評：該題考查數列的函數特性、數列求和、三角函數式的化簡等知識，考查學生的運算求解能力，屬中檔題．