設a∈R,試討論關于x的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的實根個數(shù).
考點:根的存在性及根的個數(shù)判斷
專題:函數(shù)的性質及應用
分析:由對數(shù)的含義及運算法則,轉化為二次方程的解得問題處理即可,注意定義域.
解答: 解:由題意x-1>0且3-x>0,所以1<x<3,
又lg(x-1)+lg(3-x)=lg(x-1)(3-x)=lg(a-x)
所以(x-1)(3-x)=a-x在1<x<3上有兩個實根,
即判斷x2-5x+a+3=0在(1,3)上個實根的個數(shù).
所以a=-x2+5x-3,x∈(1,3),
令f(x)=-x2+5x-3,x∈(1,3),

f(1)=1,f(3)=3,f(
5
2
)=
13
4
,
當1<a≤3,或a=
13
4
時,方程有1個實根,
當3<a<
13
4
時,方程有2個實根,
當a≤1或a>
13
4
時,方程有無實根,
點評:本題考查二次方程實根分布問題、對數(shù)的運算法則,同時考查等價轉化思想,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

比較a=(
1
3
0.2與b=2 
1
3
的大。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知Rt△ABC,∠C=90°,CA=3,CB=4,點D、E在AB上,滿足
AD
=
1
3
AB
,
BE
=-
1
4
AB
,則
CE
CD
=( 。
A、
80
12
B、
90
12
C、
11
2
D、
9
2

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率e=
1
2
,A,B是橢圓的左、右頂點,P是橢圓上不同于A,B的一點,直線PA,PB傾斜角分別為α,β,則
cos(α-β)
cos(α+β)
=
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知,圓C:x2+y2-6x+5=0,直線l:x+ay-a-2=0.
(1)求證:直線l與圓C必相交;
(2)當直線l與圓C相交于A、B兩點,且AB=2
2
時,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ax+lnx,g(x)=ex,a∈R.
(1)求f(x)的單調區(qū)間;(2)若不等式g(x)<
x-m
x
有解,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)定義:對于函數(shù)y=F(x)和y=G(x)在其公共定義域內的任意實數(shù)x0,稱|F(x0)-G(x0)|的值為兩函數(shù)在x0處的差值.證明:當a=0時,函數(shù)y=f(x)和f=g(x)在其公共定義域內的所有差值都大于2.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且當x≤0時,f(x)=x2+2x.
(1)求x>0時,函數(shù)f(x)的解析式;
(2)討論函數(shù)g(x)=f(x)-a的零點個數(shù);
(3)若函數(shù)g(x)=f(x)-2ax+2,當x∈[1,2],記函數(shù)g(x)的最大值與最小值之差為M(a),求M(a).

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

若f(x)為定義在R上的偶函數(shù),且f(x+2)=f(x),當x∈[0,1]時,f(x)=x2+1,則當 x∈[3,5]時,f(x)=( 。
A、(x+3)2+1
B、(x-3)2+1
C、(x-4)2+1
D、(x-5)2+1

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知a,b,c分別是△ABC的三內角A,B,C所對的邊,若a=1,b=
3
,B=
π
3
,則sinC的值為( 。
A、1
B、
1
2
C、
3
2
D、
4
5

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