Question

已知二次函數(shù)y=f（x）=x²+bx+c的圖象過點（1，13），且函數(shù)y=f(x-

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)是偶函數(shù)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知t＜2，g（x）=[f（x）-x²-13]•|x|，求函數(shù)g（x）在[t，2]上的最大值和最小值；
（3）函數(shù)y=f（x）的圖象上是否存在這樣的點，其橫坐標(biāo)是正整數(shù)，縱坐標(biāo)是一個完全平方數(shù)？如果存在，求出這樣的點的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）因為函數(shù)y=f(x-

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)是偶函數(shù)，所以二次函數(shù)f（x）=x²+bx+c的對稱軸方程為x=-

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，由此求得b的值，再由
 f（x）=x²+bx+c的圖象過點（1，13），求出c的值，從而求得f（x）的解析式．
（2）由題意可得 g（x）=（x-2）•|x|，畫出它的圖象，討論t的范圍，結(jié)合圖象求出g（x）在[t，2]上的 最值．
（3）如果函數(shù)y=f（x）的圖象上存在符合要求的點，設(shè)為P（m，n²），從而4n²-（2m+1）²=43，由此求得m、n的值，
從而得出結(jié)論．

解答：解：（1）因為函數(shù)y=f(x-

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)是偶函數(shù)，所以二次函數(shù)f（x）=x²+bx+c的對稱軸方程為x=-

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，故b=1．--（2分）
又因為二次函數(shù)f（x）=x²+bx+c的圖象過點（1，13），所以1+b+c=13，故c=11．
因此，f（x）的解析式為f（x）=x²+x+11．-----（4分）
（2）由題意可得 g（x）=（x-2）•|x|，當(dāng)x≤0時，g（x）=-（x-1）²+1，
當(dāng)x＞0時，g（x）=（x-1）²-1，由此可知g（x）在[t，2]上的最大值 g（x）_max=g（2）=0．----（7分）
當(dāng)1≤t＜2，g（x）_min =g（t）=t²-2t．
當(dāng)1-

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≤t＜1，g（x）_min=g（1）=-1．
當(dāng)t＜1-

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，g（x）_min=g（t）=-t²+2t．---（10分）
（3）如果函數(shù)y=f（x）的圖象上存在符合要求的點，設(shè)為P（m，n²），
其中m為正整數(shù)，n為自然數(shù)，則m²+m+11=n²，從而4n²-（2m+1）²=43，
即[2n+（2m+1）][2n-（2m+1）]=43．-----（12分）
注意到43是質(zhì)數(shù)，且2n+（2m+1）＞2n-（2m+1），2n+（2m+1）＞0，
所以有

2n+(2m+1)=43 2n-(2m+1)=1

，解得

m=10 n=11.

．----（15分）
因此，函數(shù)y=f（x）的圖象上存在符合要求的點，它的坐標(biāo)為（10，121）．-------（16分）

點評：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的方法，體現(xiàn)了分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．