Question

19．過直角坐標平面xOy中的拋物線y²=2px的焦點F作一條傾斜角為$\frac{π}{4}$的直線與拋物線相交于A，B兩點．
（1）若p=2，求A，B兩點間的距離；
（2）當p∈（0，+∞）時，判斷∠AOB是否為定值．若是，求出其余弦值；若不是，說明理由．

Answer 1

分析 （1）直線方程代入拋物線方程，利用弦長公式求A，B兩點間的距離；
（2）直線方程代入拋物線方程，利用韋達定理，結合余弦定理，即可得出結論．

解答 解：（1）設直線與拋物線的交點為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
焦點F（1，0），過拋物線的焦點且傾斜角為$\frac{π}{4}$的直線方程是y=x-1
代入y²=4x，可得x²-6x+1=0，
則x₁+x₂=6，
∴|AB|=x₁+x₂+p=8 …．（5分）
（2）y=x-$\frac{p}{2}$代入y²=2px，可得x²-3px+$\frac{{p}^{2}}{4}$=0，則x₁+x₂=3p，x₁x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$…..8
cos∠AOB=$\frac{|A{O|}^{2}+|BO{|}^{2}-|AB{|}^{2}}{2|AO||BO|}$=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}-\frac{p}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）+\frac{{p}^{2}}{4}}{\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}[{x}_{1}{x}_{2}+2p（{x}_{1}+{x}_{2}）+4{p}^{2}]}}$=-$\frac{3\sqrt{41}}{41}$
∴∠AOB的大小是與p無關的定值．…..（15分）

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系，考查余弦定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．