Question

8．已知拋物線y²=4x的準線與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-y²（a＞0）交于A，B兩點，且F為拋物線的焦點，若△FAB為直角三角形，則a=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 求出拋物線的準線為x=-1，焦點為F（1，0）．根據(jù)對稱性可得△FAB是等腰直角三角形，從而算出A、B的坐標，將其代入雙曲線方程，解關(guān)于a的等式即可得到實數(shù)a的值．

解答 解：∵拋物線的方程為y²=4x，
∴拋物線的準線為x=-1，焦點為F（1，0）．
又∵直線x=-1交雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-y²（a＞0）于A、B兩點，
△FAB為直角三角形．
∴△FAB是等腰直角三角形，AB邊上的高FF'=2，
由此可得A（-1，2）、B（-1，-2），如圖所示
將點A或點B的坐標代入雙曲線方程，得$\frac{1}{{a}^{2}}$-4=1，
解之得a=$\frac{\sqrt{5}}{5}$（舍負），
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題給出拋物線與雙曲線滿足的條件，在已知拋物線的方程情況下求雙曲線的標準方程．著重考查了拋物線、雙曲線的標準方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．