Question

11．若a，b在區(qū)間$[{0，\sqrt{3}}]$上取值，則函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}a{x^3}+b{x^2}+\frac{1}{4}ax$在R上有兩個(gè)相異極值點(diǎn)的概率是（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $1-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f（x）在R上有兩個(gè)相異極值點(diǎn)的充要條件，得出關(guān)于a，b的約束條件，在a-o-b坐標(biāo)系中畫出可行域，再利用幾何概型求出兩者的面積比即可．

解答 解：易得f′（x）=ax²+2bx+$\frac{1}{4}$a，
函數(shù)f（x）在R上有兩個(gè)相異極值點(diǎn)的充要條件：
是a≠0且其導(dǎo)函數(shù)的判別式大于0，即a≠0且4b²-a²＞0，
又a，b在區(qū)間[0，$\sqrt{3}$]上取值，則a＞0，b＞$\frac{1}{2}$a，
點(diǎn)（a，b）滿足的區(qū)域如圖中陰影部分所示，

其中正方形區(qū)域的面積為3，
陰影部分的面積為3-$\frac{3}{4}$=$\frac{9}{4}$，
故所求的概率p=$\frac{\frac{9}{4}}{3}$=$\frac{3}{4}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、幾何概型．簡(jiǎn)單地說(shuō)，如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱為幾何概型．