Question

16．已知函數(shù)f（x）=1+x-$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{{x}^{4}}{4}$-…+$\frac{{x}^{2013}}{2013}$-$\frac{{x}^{2014}}{2014}$+$\frac{{x}^{2015}}{2015}$，則下列結(jié)論正確的是（　　）

• A． f（x）在（0，1）上恰有一個(gè)零點(diǎn)
• B． f（x）在（0，1）上恰有兩個(gè)零點(diǎn)
• C． f（x）在（-1，0）上恰有一個(gè)零點(diǎn)
• D． f（x）在（-1，0）上恰有兩個(gè)零點(diǎn)

Answer 1

分析 求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，討論x＜1時(shí)，導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，判斷單調(diào)性，計(jì)算f（0），f（1）和f（-1），可得符號(hào)，由零點(diǎn)存在定理，即可得到結(jié)論．

解答 解：函數(shù)f（x）=1+x-$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{{x}^{4}}{4}$-…+$\frac{{x}^{2013}}{2013}$-$\frac{{x}^{2014}}{2014}$+$\frac{{x}^{2015}}{2015}$，
可得f′（x）=1-x+x²-x³+…+x²⁰¹²-x²⁰¹³+x²⁰¹⁴
=（1-x）+x²（1-x）+…+x²⁰¹²（1-x）+x²⁰¹⁴
=（1-x）（1+x²+…+x²⁰¹²）+x²⁰¹⁴，
當(dāng)x＜1時(shí)，1-x＞0，f′（x）＞0，
可得f（x）在（-∞，1）上遞增，
由f（0）=1＞0，可得f（1）＞0，即有f（x）在（0，1）無零點(diǎn)，則A，B均錯(cuò)；
由f（-1）=1-1-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$-…-$\frac{1}{2015}$＜0，又f（x）在（-1，0）遞增，
由零點(diǎn)存在定理，可得f（x）在（-1，0）上恰有一個(gè)零點(diǎn)．
則C正確，D錯(cuò)誤．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問題的解法，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，運(yùn)用函數(shù)零點(diǎn)存在定理，考查推理能力和判斷能力，屬于中檔題．