Question

10．設點P（x，y）是曲線a|x|+b|y|=1（a＞0，b＞0）上的動點，且滿足$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+2y+1}$+$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}-2y+1}$≤2$\sqrt{2}$，則a+$\sqrt{2}$b的取值范圍為[2，+∞）．

Answer 1

分析 去掉絕對值，化簡曲線a|x|+b|y|=1，再化簡不等式$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+2y+1}$+$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}-2y+1}$≤2$\sqrt{2}$，利用它的幾何意義列出滿足題意的不等式組，求出b與a的取值范圍，即得a+$\sqrt{2}$b的取值范圍．

解答 解：由曲線a|x|+b|y|=1（a＞0，b＞0），
當x，y≥0時，化為ax+by=1；
當x≥0，y≤0時，化為ax-by=1；
當x≤0，y≥0時，化為-ax+by=1；
當x≤0，y≤0時，化為-ax-by=1；
畫出圖象，如圖所示，其軌跡為四邊形ABCD；
$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+2y+1}$+$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}-2y+1}$≤2$\sqrt{2}$，
變形為$\sqrt{{x}^{2}{+（y+1）}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}{+（y-1）}^{2}}$≤2$\sqrt{2}$，
上式表示點M（0，1），N（0，-1）與該圖象上的點P的距離之和≤2$\sqrt{2}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{1+\frac{1}{{a}^{2}}}≤2\sqrt{2}}\\{\frac{2}≤2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，解得b≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a≥1；
∴a+$\sqrt{2}$b≥1+$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2，
其取值范圍是[2，+∞）．
故答案為：[2，+∞）．

點評 本題考查了直線的方程、兩點之間的距離公式應用、不等式的性質(zhì)，考查了分類討論思想方法、數(shù)形結(jié)合思想方法，考查了推理能力與計算能力，是綜合性題目．