Question

13．如圖1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=1．現(xiàn)以AD為一邊向梯形外作矩形ADEF，然后沿邊AD將矩形ADEF翻折，使平面ADEF與平面ABCD垂直．
（1）求證：BC⊥平面BDE；
（2）若點D到平面BEC的距離為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，求三棱錐F-BDE的體積．

Answer 1

分析 （1）證明ED⊥BC，BC⊥BD，ED∩BD=D，即可證明BC⊥平面BDE；
（3）由（1）知，平面DBE⊥平面BCE，作DH⊥BE，則DH⊥平面BCE，求出高DE，轉(zhuǎn)換底面即可求三棱錐F-BDE的體積．

解答 （1）證明：在正方形ADEF中，ED⊥AD．
又∵平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，
∴ED⊥平面ABCD，則ED⊥BC．
在直角梯形ABCD中，AB=AD=1，CD=2，∠BDC=45°，可得BC=$\sqrt{2}$．
在△BCD中，BD=BC=$\sqrt{2}$，CD=2，∴BD²+BC²=CD²．
∴BC⊥BD．
故BC⊥平面BDE；
（2）解：由（1）知，平面DBE⊥平面BCE，作DH⊥BE，則DH⊥平面BCE，∴DH=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
△BDE中，由等面積可得$\sqrt{2}$•DE=$\frac{\sqrt{6}}{3}$•$\sqrt{D{E}^{2}+2}$
∴DE=1，
∴V_F-BDE=V_B-DEF=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1$=$\frac{1}{6}$．

點評 本題考查平面與平面垂直的性質(zhì)，考查線面垂直的判定，考查三棱錐F-BDE的體積，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．