Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}$．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域和值域；
（2）解不等式1-$\frac{1}{f（x）}$＞$\frac{1}{{4}^{x}-1}$；
（3）判斷函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性，并利用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明．

Answer 1

分析 （1）由2^x-1≠0即可得出定義域，可將原函數(shù)變成$f（x）=1+\frac{2}{{2}^{x}-1}$，從而可由2^x＞0得到$\frac{1}{{2}^{x}-1}$的范圍，從而得出原函數(shù)的值域；
（2）帶入f（x），可得到$\frac{2}{{2}^{x}+1}＞\frac{1}{{4}^{x}-1}$，討論x＜0，和x＞0，從而將分式不等式變成整式不等式再求解集可；
（3）f（x）=$1+\frac{2}{{2}^{x}-1}$，可以看出x增大時(shí)，f（x）減小，從而知f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，根據(jù)減函數(shù)的定義證明：設(shè)任意的x₁＜x₂＜0，然后作差，通分，證明f（x₁）＞f（x₂），這樣即可得出f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減．

解答 解：（1）解2^x-1≠0得，x≠0；
∴該函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0}；
$f（x）=\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}=\frac{{2}^{x}-1+2}{{2}^{x}-1}=1+\frac{2}{{2}^{x}-1}$；
2^x＞0；
∴-1＜2^x-1＜0，或2^x-1＞0；
∴$\frac{1}{{2}^{x}-1}＜-1$，或$\frac{1}{{2}^{x}-1}＞0$；
∴f（x）＜-1，或f（x）＞1；
∴f（x）的值域?yàn)椋?∞，-1）∪（1，+∞）；
（2）$\frac{1}{f（x）}=\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}=1-\frac{2}{{2}^{x}+1}$（Ⅰ）；
∴由原不等式得，$\frac{2}{{2}^{x}+1}＞\frac{1}{{4}^{x}-1}$；
①若x＞0，由不等式（Ⅰ）得：2•2^2x-2^x-3＞0；
∴（2^x+1）（2^x-3）＞0；
∴2^x＞3；
∴x＞log₂3；
②若x＜0，由不等式（Ⅰ）得：2•2^2x-2^x-3＜0；
∴（2^x+1）（2^x-3）＜0；
∴2^x＜3；
∴x＜0；
綜上得原不等式的解集為（-∞，0）∪（log₂3，+∞）；
（3）$f（x）=1+\frac{2}{{2}^{x}-1}$，x增大時(shí)，2^x-1增大，∴f（x）減小，∴f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，證明如下：
設(shè)x₁＜x₂＜0，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}-1}-\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}-1}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）}{（{2}^{{x}_{1}}-1）（{2}^{{x}_{2}}-1）}$；
∵x₁＜x₂＜0；
∴${2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}＞0，{2}^{{x}_{1}}-1＜0，{2}^{{x}_{2}}-1＜0$；
∴$\frac{2（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）}{（{2}^{{x}_{1}}-1）（{2}^{{x}_{2}}-1）}＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)定義域、值域的概念及求法，分離常數(shù)法的運(yùn)用，根據(jù)不等式的性質(zhì)求值域，解分式不等式，指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化，指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及根據(jù)減函數(shù)的定義證明一個(gè)函數(shù)為減函數(shù)的方法和過(guò)程，作差比較法的運(yùn)用．