Question

7．已知拋物線(xiàn)方程為y²=4x，直線(xiàn)L過(guò)定點(diǎn)P（-2，1），斜率為k，k為何值時(shí)，直線(xiàn)L與拋物線(xiàn)y²=4x只有一個(gè)公共點(diǎn)；有兩個(gè)公共點(diǎn)；沒(méi)有公共點(diǎn)？

Answer 1

分析 設(shè)出直線(xiàn)方程代入拋物線(xiàn)方程整理可得k²x²+（4k²+2k-4）x+4k²+4k+1=0（*）
（1）直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)?（*）只有一個(gè)根
（2）直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有2個(gè)公共點(diǎn)?（*）有兩個(gè)根
（3）直線(xiàn)與拋物線(xiàn)沒(méi)有一個(gè)公共點(diǎn)?（*）沒(méi)有根

解答 解：由題意可設(shè)直線(xiàn)方程為：y=k（x+2）+1，
代入拋物線(xiàn)方程整理可得k²x²+（4k²+2k-4）x+4k²+4k+1=0（*）
（1）直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于（*）只有一個(gè)根
①k=0時(shí)，y=1符合題意；
②k≠0時(shí)，△=（4k²+2k-4）²-4k²（4k²+4k+1）=0，整理，得2k²+k-1=0，
解得k=$\frac{1}{2}$或k=-1．
綜上可得，k=$\frac{1}{2}$或k=-1或k=0；
（2）由（1）得2k²+k-1＜0且k≠0，∴-1＜k＜$\frac{1}{2}$且k≠0；
（3）由（1）得2k²+k-1＞0，∴k＞$\frac{1}{2}$或k＜-1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了由直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系的求解參數(shù)的取值范圍，一般的思路是把位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程解的問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．