Question

12．響應(yīng)國家提出的“大眾創(chuàng)業(yè)，萬眾創(chuàng)新”的號召，小王同學大學畢業(yè)后，決定利用所學專業(yè)進行自主創(chuàng)業(yè)．經(jīng)過市場調(diào)查，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本為2萬元，每生產(chǎn)x萬件，需另投入流動成本為C（x）萬元．在年產(chǎn)量不足8萬件時，$C（x）=\frac{1}{3}{x^2}+2x$（萬元）；在年產(chǎn)量不小于8萬件時，$C（x）=7x+\frac{100}{x}-37$（萬元）．每件產(chǎn)品售價為6元．假設(shè)小王生產(chǎn)的商品當年全部售完．
（Ⅰ）寫出年利潤P（x）（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（萬件）的函數(shù)解析式（注：年利潤=年銷售收入-固定成本-流動成本）；
（Ⅱ）年產(chǎn)量為多少萬件時，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？最大利潤是多少？

Answer 1

分析 （I）根據(jù)年利潤=銷售額-投入的總成本-固定成本，分0＜x＜8和當x≥8兩種情況得到P（x）與x的分段函數(shù)關(guān)系式；
（II）當0＜x＜8時根據(jù)二次函數(shù)求最大值的方法來求L的最大值，當x≥8時，利用基本不等式來求P（x）的最大值，最后綜合即可．

解答 解：（Ⅰ）因為每件商品售價為6元，則x萬件商品銷售收入為6x萬元．
依題意得
當0＜x＜8時，$P（x）=6x-（{\frac{1}{3}{x^2}+2x}）-2=-\frac{1}{3}{x^2}+4x-2$…（2分）
當x≥8時，$P（x）=6x-（{7x+\frac{100}{x}-37}）-2=35-（{x+\frac{100}{x}}）$…（4分）
所以$P（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{1}{3}{x^2}+4x-2，0＜x＜8}\\{35-x-\frac{100}{x}，x≥8}\end{array}}\right.$…（5分）
（Ⅱ）當0＜x＜8時，$P（x）=-\frac{1}{3}{（{x-6}）^2}+10$
此時，當x=6時，P（x）取得最大值P（6）=10（萬元）     …（8分）
當x≥8時$P（x）=35-（{x+\frac{100}{x}}）≤35-2\sqrt{x•\frac{100}{x}}=15$
（當且僅當$x=\frac{100}{x}$，即x=10時，取等號）
即x=10時，P（x）取得最大值15萬元        …（11分）
因為10＜15，所以當年產(chǎn)量為10萬件時，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大，最大利潤為15萬元．…（12分）

點評 考查學生根據(jù)實際問題選擇合適的函數(shù)類型的能力，以及運用基本不等式求最值的能力．