8．在橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$內(nèi)有一點P（1，-1），F(xiàn)為橢圓右焦點，在橢圓上有一點M，使|MP|+|MF|的值最大，則這一最大值是4+$\sqrt{5}$．

分析 由橢圓方程求得a，利用橢圓定義把|MP|+|MF|轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合得答案．

解答 解：如圖，

由橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，得a2=4，a=2．
設(shè)橢圓左焦點為F′，則|MF|=2a-|MF′|=4-|MF′|，
∴|MP|+|MF|=4-|MF′|+|MP|=4+（|MP|-|MF′|）．
由圖可知，當(dāng)M為PF′的延長線與橢圓的交點時，|MP|-|MF′|有最大值為$\sqrt{5}$．
∴|MP|+|MF|的值最大值為4+$\sqrt{5}$．
故答案為：4+$\sqrt{5}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．

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