Question

17．已知函數(shù)f（x）=2x+sinx，若對任意的x，y∈R，不等式f（x²+6x+21）+f（y²-8y）＜0恒成立，則x²+y²的取值范圍是[9，49]．

Answer 1

分析 由函數(shù)解析式可得函數(shù)的奇偶性與單調性，把不等式f（x²+6x+21）+f（y²-8y）＜0恒成立轉化為（x+3）²+（y-4）²＜2恒成立，然后利用x²+y²的幾何意義求得其取值范圍．

解答 解：∵f（x）=2x+sinx，其定義域為R，
且f（-x）=-2x+sin（-x）=-（2x+sinx）=-f（x），
∴f（x）為實數(shù)集上的奇函數(shù)；
又f′（x）=2+cosx＞0在實數(shù)集上恒成立，∴f（x）為實數(shù)集上的增函數(shù)．
則由f（x²+6x+21）+f（y²-8y）＜0，得f（x²+6x+21）＜f（-y²+8y），
即x²+6x+21＜-y²+8y，∴（x+3）²+（y-4）²＜2．
設M（x，y），M表示以（-3，4）為圓心，2為半徑的圓內的任意一點，
則x²+y²表示在圓內任取一點與原點的距離的平方，
∴（5-2）²≤x²+y²≤（5+2）²，即9≤x²+y²≤49．
故答案為：[9，49]．

點評 本題考查了函數(shù)奇偶性、單調性及圓的有關知識，解決問題的關鍵是把“數(shù)”的問題轉化為“形”的問題，借助于圖形的幾何意義減少了運算量，體現(xiàn)數(shù)形結合、轉化與化歸思想在解題中的應用，是中檔題．