Question

2．已知f（x）=Asin（wx+φ）$（x∈R，A＞0，w＞0，0＜ϕ＜\frac{π}{2}）$的圖象與x軸的交點(diǎn)中，相鄰兩交點(diǎn)距離為$\frac{π}{2}$，且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為$M（\frac{2π}{3}，-2）$；
（1）求f（x）的解析式；
（2）將f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到y(tǒng)=g（x）的圖象，若y=g（x）在[0，b]上至少有4個(gè)零點(diǎn)，求b的最小值．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值．
（2）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，g（x）=2sin2x+1，則函數(shù)y=sin2x的圖象和直線y=-$\frac{1}{2}$在[0，b]上至少有4個(gè)交點(diǎn)，由$\frac{23π}{6}$≤2b＜$\frac{31π}{6}$，求得b的最小值．

解答 解：（1）根據(jù)函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)中，相鄰兩交點(diǎn)距離為$\frac{π}{2}$，可得$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{w}$=$\frac{π}{2}$，∴w=2．
再根據(jù)圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為$M（\frac{2π}{3}，-2）$，可得A=2，2×$\frac{2π}{3}$+φ=$\frac{3π}{2}$，φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）將f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到y(tǒng)=g（x）=2sin[2（x-$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{6}$]+1=2sin2x+1 的圖象，
若y=g（x）在[0，b]上至少有4個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)y=sin2x的圖象和直線y=-$\frac{1}{2}$在[0，b]上至少有4個(gè)交點(diǎn)，
故$\frac{23π}{6}$≤2b＜$\frac{31π}{6}$，求得b的最小值為$\frac{23π}{12}$．

點(diǎn)評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值．函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，方程根的存在性以及個(gè)數(shù)判斷，屬于中檔題．