Question

9．已知f（x）是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，f（1）=2且對于任意x，y∈R，總有f（x+y）=f（x）+f（y），
（1）求f（0）、f（3）的值；
（2）若f（4^x-a）+f（6+2^x+1）＞6對任意x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令x=y=0，可得f（0）=0；令x=y=1，再令x=1，y=2，即可得到f（3）=6；
（2）由（1）的結(jié)論可得f（x）為R上的遞增函數(shù)，令y=-x，可得f（-x）=-f（x），由題意可得4^x-a＞-3-2^x+1，即a-3＜4^x+2^x+1，求得右邊函數(shù)的值域，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）令x=y=0，則f（0）=2f（0），解得f（0）=0；
令x=y=1，則f（2）=2f（1）=4；
再令x=1，y=2，則f（3）=f（1）+f（2）=2+4=6；
（2）由f（x）是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，且f（0）＜f（1），f（2）＜f（3），
則f（x）在R上為遞增函數(shù)，
由y=-x，可得f（0）=f（x）+f（-x）=0，
即為f（-x）=-f（x），
f（4^x-a）+f（6+2^x+1）＞6對任意x恒成立，
即有f（4^x-a）＞6-f（6+2^x+1）=f（3）+f（-6-2^x+1）=f（-3-2^x+1），
即為4^x-a＞-3-2^x+1，即a-3＜4^x+2^x+1，
由4^x+2^x+1=（2^x+1）²-1＞0，
可得a-3≤0，解得a≤3．
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，3]．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的判斷和運(yùn)用：解不等式，同時(shí)考查賦值法的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．