Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）=x-$\frac{1}{x}$-alnx．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與圓x²+y²=$\frac{1}{2}$，求a的值；
（2）當(dāng)a∈[0，2]時(shí)，函數(shù)g（x）=x-lnx-$\frac{1}{e}$，若在[1，e]上至少存在一根x₀，使得f（x₀）≥g（x₀），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，求出切線的方程，由直線和圓相切的條件，即可得到a的值；
（2）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，求得在[1，e]上的最小值，求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，可得最大值，若在[1，e]上存在實(shí)數(shù)x，使得f（x）＞g（x），即為f（x）_max≥g（x）_min，解不等式即可得到a的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x-$\frac{1}{x}$-alnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{a}{x}$，
在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為2-a，切點(diǎn)為（1，0），
在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=（2-a）（x-1），
切線與圓x²+y²=$\frac{1}{2}$相切，可得$\frac{|2-a|}{\sqrt{1+（2-a）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得a=1或3；
（2）∵g（x）=x-lnx-$\frac{1}{e}$的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$≥0，
則g（x）在[1，e]上是增函數(shù)，
∴x=1時(shí)，g（x）_min=1-$\frac{1}{e}$；
又f（x）=x-$\frac{1}{x}$-alnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{a}{x}$=$\frac{{x}^{2}-ax+1}{{x}^{2}}$，
由a∈[0，2]，則x²-ax+1的判別式a²-4≤0，即有f′（x）≥0恒成立，
即f（x）在[1，e]遞增，x=e處取得最大值，且為e-$\frac{1}{e}$-a，
由在[1，e]上至少存在一根x₀，使得f（x₀）≥g（x₀），
即有f（x）_max≥g（x）_min，即為e-$\frac{1}{e}$-a≥1-$\frac{1}{e}$，
解得0≤a≤e-1，
則a的取值范圍是[0，e-1]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)單調(diào)性的判定，函數(shù)最值，函數(shù)、方程與不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力、推理論證能力及分析與解決問題的能力，屬于中檔題．