【題目】如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)棱垂直于底面,∠BAC=90°,AB=AA1=2,AC=1,點M和N分別為A1B1和BC的中點.

(1)求證:AC⊥BM;
(2)求證:MN∥平面ACC1A1
(3)求二面角M﹣BN﹣A的余弦值.

【答案】
(1)證明:由題意知AC、AB、AA1兩兩垂直,

如圖,以A為原點,AC為x軸,AB為y軸,AA1為z軸,建立空間直角坐標系,

則A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,0,0),M(0,1,2),

=(1,0,0), =(0,﹣1,2),

=0,∴ ,

∴AC⊥BM.


(2)證明:∵M(0,1,2),N( ),A(0,0,0),B(0,2,0),

=( ), =(0,2,0),

=0,

∴MN⊥AB,

是平面ACC1A1的一個法向量,且MN平面ACC1A1,

∴MN∥平面ACC1A1


(3)解:由(2)得 =( ), =(0,1,﹣2),

設(shè)平面MBN的法向量為 =(x,y,z),

,取z=1,得 =(4,2,1),

平面ABN的法向量 =(0,0,2),

cos< >= = =

∵二面角M﹣BN﹣A的平面角是銳角,

∴二面角M﹣BN﹣A的余弦值為


【解析】(1)以為原點,AC為x軸,AB為y軸,AA1為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能證明AC⊥BM.(2)推導出 =0,由 是平面ACC1A1的一個法向量,且MN平面ACC1A1 , 能證明MN∥平面ACC1A1 . (3)求出平面MBN的法向量和平面ABN的法向量,利用向量法能求出二面角M﹣BN﹣A的余弦值.
【考點精析】通過靈活運用直線與平面平行的判定,掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行即可以解答此題.

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