Question

若將（x+y+z）¹⁰展開為多項(xiàng)式，經(jīng)過合并同類項(xiàng)后它的項(xiàng)數(shù)是

 

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Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專題：計算題,二項(xiàng)式定理

分析：將（x+y+z）¹⁰展開合并同類項(xiàng)后，每一項(xiàng)都是 m•x^a•y^b•z^c 的形式，且a+b+c=10，其中，m是實(shí)數(shù)，a、b、c∈N．利用組合模型求解該問題，恰當(dāng)構(gòu)造分組模型．

解答： 解：對于這個式子，可以知道必定會有形如qx^ay^bz^c的式子出現(xiàn)，其中q∈R，a，b，c∈N
而且a+b+c=10，
構(gòu)造13個完全一樣的小球模型，分成3組，每組至少一個，共有分法C₁₂²種，
每一組中都去掉一個小球的數(shù)目分別作為（x+y+z）¹⁰的展開式中每一項(xiàng)中x，y，z各字母的次數(shù)．
小球分組模型與各項(xiàng)的次數(shù)是一一對應(yīng)的．
故（x+y+z）¹⁰的展開式中，合并同類項(xiàng)之后的項(xiàng)數(shù)為C₁₂²=66，
故答案為：66．

點(diǎn)評：本題主要考查了二項(xiàng)展開式的系數(shù)特征，考查構(gòu)造法解決該問題，關(guān)鍵要構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)慕M合模型，屬于中檔題．