Question

10．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax-ln2．
（1）討論y=f（x）的單調(diào)性；
（2）當a=1，時，對任意x∈（0，+∞），不等式f（x）≤bx-1恒成立，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）確定函數(shù)的定義域，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負，可得y=f（x）的單調(diào)性；
（2）當a=1時，對任意x∈（0，+∞），不等式f（x）≤bx-1恒成立，等價于b≥$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1-ln2}{x}$-1在（0，+∞）上恒成立，令g（x）=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1-ln2}{x}$-1，求出函數(shù)的最大值，即可求實數(shù)b的取值范圍．

解答 解：（1）y=f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=$\frac{1-ax}{x}$．
a≤0時，f′（x）＞0，y=f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
a＞0時，f′（x）＞0，可得0＜x＜$\frac{1}{a}$，f′（x）＜0，可得x＞$\frac{1}{a}$，
∴y=f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）上單調(diào)遞減；
（2）當a=1時，對任意x∈（0，+∞），不等式f（x）≤bx-1恒成立，等價于b≥$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1-ln2}{x}$-1在（0，+∞）上恒成立，
令g（x）=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1-ln2}{x}$-1，則g′（x）=$\frac{ln2-lnx}{{x}^{2}}$=0，∴x=2，
當x∈（0，2），g′（x）＞0，當x∈（2，+∞），g′（x）＜0，
∴y=g（x）的最大值為g（2）=-$\frac{1}{2}$，
∴b≥-$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．