Question

3．已知直線l₁：x+a²y+1=0的方向向量與直線l₂：（a²+1）x-by+3=0的法向量平行，且a•b≠0，求|ab|的最小值．

Answer 1

分析 由直線的斜率得到l₁的方向向量，再由直線l₂的斜率結(jié)合向量垂直得到l₂的法向量，由向量平行得到關(guān)于a，b的關(guān)系式，結(jié)合“對(duì)勾函數(shù)”的特點(diǎn)得答案．

解答 解：由直線l₁：x+a²y+1=0，可得其方向向量為（a²，-1），
對(duì)于直線l₂：（a²+1）x-by+3=0，斜率k=$\frac{{a}^{2}+1}$，
故法向量為（a²+1，-b），
由方向向量與法向量平行，得到-a²b+a²+1=0，
即b=$\frac{{a}^{2}+1}{{a}^{2}}$，
∴|ab|=|$a•\frac{{a}^{2}+1}{{a}^{2}}$|=|a+$\frac{1}{a}$|，
∴當(dāng)a=1或a=-1時(shí)，|ab|_min=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線的一般式方程與直線平行的關(guān)系，考查了直線的方向向量與法向量，是中檔題．