Question

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在極坐標(biāo)系中，曲線C極坐標(biāo)方程為ρ=2

2

sin(θ-

π

4

)，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為

x=1+ 4 5 t y=-1- 3 5 t

（t為參數(shù)）．
求：（1）曲線C和直線l的普通方程；
（2）求直線l被曲線C所截得的弦長．

Answer 1

分析：曲線C的普通方程為：（x+1）²+（y-1）²=2，表示以C（-1，1）為圓心，半徑為

2

的圓．直線l的普通方程為3x+4y+1=0．利用直線和圓的位置關(guān)系求解．

解答：解：（1）曲線C極坐標(biāo)方程為ρ=2

2

sin(θ-

π

4

)，即ρ=2（sinθ-cosθ），
兩邊同乘以ρ，得ρ²=2（ρsinθ-ρcosθ），
化為普通方程為x²+y²=2y-2x，即（x+1）²+（y-1）²=2．
直線l的參數(shù)方程為

x=1+ 4 5 t     ① y=-1- 3 5 t      ②

①×3+②×4，消去t得
直線l的普通方程為：3x+4y+1=0．
（2）由（1），曲線C表示以C（-1，1）為圓心，半徑為

2

的圓．
根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系，圓心C到直線l的距離d=

2

5

，
直線l被曲線C所截得的弦長=2

r2-d2

=

2 46

5

．

點評：本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程、普通方程的互化，以及應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合的思想．