Question

8．已知F是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點，A，B分別為其左、右頂點．O為坐標原點，D為其上一點，DF⊥x軸．過點A的直線l與線段DF交于點E，與y軸交于點M，直線BE與y軸交于點N，若3|OM|=2|ON|，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 設A（-a，0），M（0，2m），B（a，0），N（0，-3m），則直線AM：$y=\frac{2m}{a}x+2m$，直線BN：$y=\frac{3m}{a}x-3m$．由直線AM，BN的交點D（c，y），得$\frac{2mc}{a}+2m=\frac{3mc}{a}-3m$，則$\frac{c}{a}=5$，即可

解答 解：如圖，設A（-a，0），M（0，2m），B（a，0），N（0，-3m）．
則直線AM：$y=\frac{2m}{a}x+2m$，直線BN：$y=\frac{3m}{a}x-3m$．
∵直線AM，BN的交點D（c，y），
∴$\frac{2mc}{a}+2m=\frac{3mc}{a}-3m$，則$\frac{c}{a}=5$，
∴雙曲線的離心率為5．
故答案為：C．

點評 本題考查了雙曲線的離心率，考查了轉化思想，屬于中檔題．