Question

已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)C（0，2），且與x軸交于不同的兩點(diǎn)A、B，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，0）．
（1）求a的取值范圍；
（2）該二次函數(shù)的圖象與直線y=2交于C、D兩點(diǎn)，設(shè)A、B、C、D四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的對(duì)角線相交于點(diǎn)P，記△PCD的面積為S₁，△PAB的面積為S₂，當(dāng)a＞2時(shí)，試探索S₁-S₂是否為常數(shù)，若是求出該常數(shù)，若不是請(qǐng)說明理由．（提示：請(qǐng)先根據(jù)題目條件在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出示意圖）

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,作圖題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意代入點(diǎn)，求出b，c，由根的判定求a的取值范圍，（2）作圖求出四點(diǎn)的坐標(biāo)，求面積差．

解答： 解：（1）由題意，c=2，a+b+2=0，
則b=-a-2，
∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0）的圖象與x軸交于不同的兩點(diǎn)A、B，
∴△=b²-4ac=（-a-2）²-4×2a=（a-2）²＞0，
又∵a＞0，
∴0＜a＜2或a＞2．
（2）如圖，由ax²-（a+2）x+2=0解得，x=1或x=

2

a

，
則A（1，0），B（

2

a

，0）；
由ax²-（a+2）x+2=2解得，x=0或x=1+

2

a

，
則C（0，2），D（1+

2

a

，2）；
則S₁-S₂=

1

2

×（1+

2

a

-0）×（2×

1+ 2 a

1+ 2 a +1- 2 a

）-

1

2

×（1-

2

a

）×（2-2×

1+ 2 a

1+ 2 a +1- 2 a

）
=

1

2

×[（1+

2

a

-0）²-（1-

2

a

）²]=

4

a

不是常數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查了作圖能力，屬于基礎(chǔ)題．