Question

20．已知函數(shù)f（x）=|1-2x|，x∈[0，1]，記f₁（x）=f（x），且${f_{n+1}}（x）=f[{f_n}（x）]\;，\;n∈{N^*}$．
（1）若函數(shù)y=f（x）-ax（a≠0）有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，+∞）．
（2）若函數(shù)y=f_n（x）-log₂（x+1）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為a_n，則滿足${a_n}＜{n^2}$的所有n的值為3．

Answer 1

分析 （1）由f（x）-ax=0且x=0不是零點(diǎn)，故a=$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{|1-2x|}{x}$，令g（x）=$\frac{|1-2x|}{x}$，作圖確定；
（2）函數(shù)y=f_n（x）-log₂（x+1）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)a_n即為函數(shù)y=f_n（x）與y=log₂（x+1）的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，分別取n=1，2，3；從而得到a_n=2ⁿ，從而求解．

解答 解：（1）∵f（x）=|1-2x|，x∈[0，1]，
∴f（x）-ax=0，
x=0，f（0）=1，
∴x=0不是零點(diǎn)，
當(dāng)x≠0時(shí)，a=$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{|1-2x|}{x}$，令g（x）=$\frac{|1-2x|}{x}$，

∴根據(jù)圖象可得出：g（x）=$\frac{|1-2x|}{x}$，與y=a有1個(gè)交點(diǎn)時(shí)，
a∈（1，+∞）
故答案為：（1，+∞）．
（2）函數(shù)y=f_n（x）-log₂（x+1）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)a_n即為函數(shù)y=f_n（x）與y=log₂（x+1）的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，
當(dāng)n=1時(shí)，y=f₁（x）=|1-2x|與y=log₂（x+1）的圖象如下，

故a₁=2；
當(dāng)n=2時(shí)，y=f₂（x）=|1-2|1-2x||與y=log₂（x+1）的圖象如下，

故a₂=4；
當(dāng)n=3時(shí)，y=f₃（x）=|1-2|1-2|1-2x|||與y=log₂（x+1）的圖象如下，

故a₃=8；
故a_n=2ⁿ，
故a_n＜n²，
故n=3；
故答案為：（1）（1，+∞）．（2）3、

點(diǎn)評(píng) 本題考查了學(xué)生的作圖能力及函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)的圖象的關(guān)系，數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．