Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形．若該三棱柱的五個(gè)面與球O₁都相切，六個(gè)頂點(diǎn)都在球O₂的球面上，則球O₂的體積為（　�。�

• A、4

  3

  π
• B、32

  3

  π
• C、

  20 5

  3

  π
• D、20

  15

  π

Answer 1

考點(diǎn)：球的體積和表面積

專(zhuān)題：球

分析：根據(jù)題意，內(nèi)切球的直徑等于正三棱柱的高，半徑等于底面正三角形的內(nèi)切圓半徑，由此結(jié)合底面的邊長(zhǎng)為6算出球半徑r=

3

，正三棱柱的底面中心的連線的中點(diǎn)就是外接球的球心，求出球的半徑即可求出球的體積．

解答：解：∵正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面都與一個(gè)球相切，
∴球的直徑等于三棱柱的高，且等于底面正三角形的內(nèi)切圓直徑
根據(jù)底面邊長(zhǎng)為6，算出內(nèi)切圓半徑r=

3

．
棱柱的高為：2

3

．
由題意可知：正三棱柱的底面中心的連線的中點(diǎn)就是外接球的球心，底面中心到頂點(diǎn)的距離為：2

3

；
所以外接球的半徑為：

(2 3 )2+( 3 )2

=

15

．
所以外接球的體積為：V₂=

4π

3

r³=

4π

3

×(

15

)3=20

15

π．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題給出正三棱柱有一個(gè)內(nèi)、外切（接）球，在已知底面邊長(zhǎng)的情況下求球的體積．著重考查了正三棱柱的性質(zhì)、正三角形的計(jì)算和球的體積公式等知識(shí)，屬于中檔題．