已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為6的等邊三角形．若該三棱柱的五個面與球O1都相切，六個頂點都在球O2的球面上，則球O2的體積為（　�。�
A、4
3
π
B、32
3
π
C、
20
5
3
π
D、20
15
π
考點：球的體積和表面積
專題：球
分析：根據(jù)題意，內(nèi)切球的直徑等于正三棱柱的高，半徑等于底面正三角形的內(nèi)切圓半徑，由此結(jié)合底面的邊長為6算出球半徑r=
3
，正三棱柱的底面中心的連線的中點就是外接球的球心，求出球的半徑即可求出球的體積．
解答：解：∵正三棱柱的三個側(cè)面和兩個底面都與一個球相切，
∴球的直徑等于三棱柱的高，且等于底面正三角形的內(nèi)切圓直徑
根據(jù)底面邊長為6，算出內(nèi)切圓半徑r=
3
．
棱柱的高為：2
3
．
由題意可知：正三棱柱的底面中心的連線的中點就是外接球的球心，底面中心到頂點的距離為：2
3
；
所以外接球的半徑為：
(2
3
)2+(
3
)2
=
15
．
所以外接球的體積為：V2=
4π
3
r3=
4π
3
×(
15
)3=20
15
π．
故選：D．
點評：本題給出正三棱柱有一個內(nèi)、外切（接）球，在已知底面邊長的情況下求球的體積．著重考查了正三棱柱的性質(zhì)、正三角形的計算和球的體積公式等知識，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)A、B、C、D是半徑為1的球面上的四個不同點，且滿足
AB
•
AC
=0，
AC
•
AD
=0，
AD
•
AB
=0，用S1、S2、S3分別表示△ABC、△ACD、△ABD的面積，則S1+S2+S3的最大值是（　�。�
A、
1
2
B、2
C、4
D、8

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列說法正確的是（　�。�
A、過一點和一條直線有且只有一個平面
B、過空間三點有且只有一個平面
C、不共面的四點中，任何三點不共線
D、兩兩相交的三條直線必共面

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知正三棱錐P-ABC的四個頂點均在球O上，且PA=PB=PC=2
5
，AB=BC=CA=2
3
，則球O的表面積為（　　）
A、25π
B、
125π
6
C、
5π
2
D、20π

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知一個四面體的每個面都是有兩條邊長為3，一條邊長為2的三角形，則該四面體的外接球的表面積為（　�。�
A、9π
B、π
C、11π
D、
11
4
π

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，△BCD與△MCD都是邊長為2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2
3
，則點A到平面MBC的距離為（　　）
A、
2
15
5
B、
15
5
C、
3
5
D、
2
3
5

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P在△ABC內(nèi)及邊界上，則|
PA
+
PB
|的最大值為（　�。�
A、
3
B、2
3
C、2
D、4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知x，y∈R+，
a
=（x，1），
b
=（1，y-1），若
a
⊥
b
，則
1
x
+
1
y
的最小值為（　�。�
A、4B、9C、8D、10

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

圓x2+y2-4x+6y+3=0的圓心坐標是（　�。�
A、（2，3）
B、（-2，3）
C、（2，-3）
D、（-2，-3）

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