Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-

1

2

（2a+1）x²+（a²+a）x，若對(duì)任意m∈R，直線y=kx+m都不是曲線y=f（x）的切線，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　　）

• A、[-

  1

  4

  ，+∞）
• B、（-

  1

  4

  ，+∞）
• C、（-∞，-

  1

  4

  ]
• D、（-∞，-

  1

  4

  ）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用直線y=kx+m都不是曲線y=f（x）的切線即可求出k的取值范圍．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=

1

3

x³-

1

2

（2a+1）x²+（a²+a）x，
∴導(dǎo)數(shù)f′（x）=x²-（2a+1）x+（a²+a）=（x-

2a+1

2

）²-

1

4

≥-

1

4

，
若對(duì)任意m∈R，直線y=kx+m都不是曲線y=f（x）的切線，
則k＜-

1

4

，
故實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-∞，-

1

4

），
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及二次函數(shù)的性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出導(dǎo)數(shù)的取值范圍是解決本題的關(guān)鍵．