Question

3．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＞0）的圖象過點(diǎn)（1，0）．
（1）記函數(shù)f（x）在[0，2]上的最大值為M，若M≤1，求a的最大值；
（2）若對(duì)任意的x₁∈[0，2]，存在x₂∈[0，2]，使得f（x₁）+f（x₂）＞$\frac{3}{2}$a，求$\frac{a}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）方法一：由f（x）是開口向上的拋物線，可得：M=max{f（0），f（2）}，即$\left\{\begin{array}{l}f（0）=-a-b≤1\\ f（2）=3a+b≤1\end{array}\right.$，兩式相加可得a的最大值；
方法二：$a=\frac{f（2）-2f（1）+f（0）}{2}$=$\frac{f（2）+f（0）}{2}$，結(jié)合M≤1，可得a的最大值
（2）存在${f_{min}}（x）+f（{x_2}）＞\frac{3}{2}a$，使${f_{min}}（x）+f（{x_2}）＞\frac{3}{2}a$，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：（1）∵f（x）過點(diǎn)（1，0），
∴f（1）=a+b+c=0，…（1分）
∴c=-a-b，f（x）=ax²+bx-a-b
∵f（x）是開口向上的拋物線，
∴M=max{f（0），f（2）}…（3分）
∴$M≤1?\left\{\begin{array}{l}f（0）=-a-b≤1\\ f（2）=3a+b≤1\end{array}\right.$…（5分）
兩式相加得a≤1，即a的最大值為1…（6分）
解法二：由$\left\{{\begin{array}{l}{f（1）=a+b+c}\\{f（2）=4a+2b+c}\\{f（0）=c}\end{array}}\right.$
解得：$a=\frac{f（2）-2f（1）+f（0）}{2}$=$\frac{f（2）+f（0）}{2}$≤$\frac{1+1}{2}$=1 …（6分）
（2）由題意，存在${f_{min}}（x）+f（{x_2}）＞\frac{3}{2}a$，使${f_{min}}（x）+f（{x_2}）＞\frac{3}{2}a$，
∴${f_{min}}（x）+{f_{max}}（x）＞\frac{3}{2}a$…（8分）
∵a+b+c=0
∴f（x）=ax²+bx-a-b其對(duì)稱軸為$x=-\frac{2a}$
①當(dāng)$-\frac{2a}＜0$，即$\frac{a}＞0$時(shí)，f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增，
∴${f_{min}}（x）+{f_{max}}（x）=f（0）+f（2）=-a-b+3a+b=2a＞\frac{3}{2}a$
∴$\frac{a}$＞0均符合題意                                     …（10分）
②當(dāng)$0≤-\frac{2a}＜1$，即$-2＜\frac{a}≤0$時(shí)，
f（x）在[0，$-\frac{2a}$]上遞減，在[$-\frac{2a}$，2]上遞增且f（0）＜f（2），
∴${f}_{min}（x）+{f}_{max}（x）=f（-\frac{2a}）+f（2）=-\frac{^{2}}{4a}-a-b+3a+b=-\frac{^{2}}{4a}+2a$
∴由$-\frac{b^2}{4a}+2a＞\frac{3}{2}a$得：$-\sqrt{2}＜\frac{a}≤0$，符合題意           …（12分）
③當(dāng)$1≤-\frac{2a}＜2$，即$-4＜\frac{a}≤-2$時(shí)，
f（x）在[0，$-\frac{2a}$]上遞減，在[$-\frac{2a}$，2]上遞增且f（0）≥f（2），
${f}_{min}（x）+{f}_{max}（x）=f（-\frac{2a}）+f（0）=-\frac{^{2}}{4a}-a-b-a-b=-\frac{^{2}}{4a}-2a-2b$
∴由$-\frac{b^2}{4a}-2a-2b＞\frac{3}{2}a$得：$-4-\sqrt{2}＜\frac{a}＜-4+\sqrt{2}$
∴$-4＜\frac{a}＜-4+\sqrt{2}$符合題意                           …（13分）
④當(dāng)$-\frac{2a}≥2$即$\frac{a}≤-4$時(shí)，f（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，
∴${f_{min}}（x）+{f_{max}}（x）=f（2）+f（0）=3a+b-a-b=2a＞\frac{3}{2}a$，
∴$\frac{a}≤-4$均符合題意                                  …（14分）
綜上所述：∴$\frac{a}＜-4+\sqrt{2}$或$\frac{a}＞-\sqrt{2}$…（15分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．