Question

已知點(diǎn)A（-1，0），B（1，0）及拋物線y²=2x，若拋物線上點(diǎn)P滿足|PA|=m|PB|，則m的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)P（x，y），則y²=2x，由題意可得，x＞0時(shí)，m²=

|PA|2

|PB|2

=

(x+1)2+y2

(x-1)2+y2

=

x2+1+4x

x2+1

=1+

4

x+ 1 x

，利用基本不等式可得結(jié)論．

解答： 解：設(shè)P（x，y），則y²=2x，
由題意可得，x＞0時(shí)，m²=

|PA|2

|PB|2

=

(x+1)2+y2

(x-1)2+y2

=

x2+1+4x

x2+1

=1+

4

x+ 1 x

，
∵x＞0，∴x+

1

x

≥2
∴1+

4

x+ 1 x

≤3，∴m≤

3

，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，等號(hào)成立；
x=0時(shí)，m=1，
∴m的最大值為

3

．
故答案為：

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．