Question

19．已知直角坐標系xOy和極坐標系Ox的原點與極點重合，x軸正半軸與極軸重合，單位長度相同，在直角坐標系下，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)）．
（1）在極坐標系下，若曲線與射線θ=$\frac{π}{4}$和射線θ=-$\frac{π}{4}$分別交于A，B兩點，求△AOB的面積；
（2）在直角坐標系下，給出直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），求曲線C與直線l的交點坐標．

Answer 1

分析 （1）通過令cos²φ+sin²φ=1，得曲線C在直角坐標系下的普通方程，再將其化為極坐標方程，分別代入θ=$\frac{π}{4}$和θ=-$\frac{π}{4}$，得|OA|²=|OB|²=$\frac{8}{5}$，利用三角形面積公式即得結(jié)論；
（2）將l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程，再將t的值代入l的參數(shù)方程，即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），
∴cos²φ+sin²φ=（$\frac{x}{2}$）²+y²=1，
∴曲線C在直角坐標系下的普通方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，
將其化為極坐標方程為$\frac{{{ρ^2}co{s^2}θ}}{4}+{ρ^2}si{n^2}θ=1$，
分別代入θ=$\frac{π}{4}$和θ=-$\frac{π}{4}$，得|OA|²=|OB|²=$\frac{8}{5}$，
∵∠AOB=$\frac{π}{2}$，∴△AOB的面積S=$\frac{1}{2}$|OA||OB|=$\frac{4}{5}$；
（2）將l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程，
得$\frac{4+2\sqrt{2}t+\frac{1}{2}{t}^{2}}{4}$+$\frac{1}{2}$t²=1，即$\frac{5}{8}$t²+$\frac{\sqrt{2}}{2}$t=0，
解得t=0或t=-$\frac{4\sqrt{2}}{5}$，
代入l的參數(shù)方程，得x=2，y=0，或$x=\frac{6}{5}，y=-\frac{4}{5}$，
所以曲線C與直線l的交點坐標為（2，0）或 $（{\frac{6}{5}，-\frac{4}{5}}）$．

點評 本題考查坐標系與參數(shù)方程，對參數(shù)方程與極坐標方程之間的靈活轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．