Question

9．已知變量x，y滿足的不等式組$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-2≤0}\\{x-2y+2≥0}\\{x+y-2≥0}\end{array}\right.$表示的區(qū)域?yàn)镈，B，C為區(qū)域D內(nèi)的任意兩點(diǎn)，設(shè)$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$的夾角為θ，則tanθ的最大值是（　�。�

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{3}{5}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 由題意，畫出平面區(qū)域，找出$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$的夾角為θ最大，時(shí)的位置，由數(shù)量積公式求夾角，得到tanθ的最大值．

解答 解：當(dāng)B，C處于如圖所示位置時(shí)，
$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$的夾角為θ最大，得到B（$\frac{2}{3}，\frac{4}{3}$），C（$\frac{4}{3}，\frac{2}{3}$），則cosθ=$\frac{\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}}{|\overrightarrow{OB}||\overrightarrow{OC}|}$=$\frac{\frac{2}{3}×\frac{4}{3}+\frac{4}{3}×\frac{2}{3}}{\sqrt{（\frac{2}{3}）^{2}+（\frac{4}{3}）^{2}}\sqrt{（\frac{4}{3}）^{2}+（\frac{2}{3}）^{2}}}=\frac{4}{5}$，所以0＜θ＜$\frac{π}{2}$，且sinθ=$\frac{3}{5}$，
因?yàn)閠anθ在（0，$\frac{π}{2}$）是增函數(shù)，所以tanθ的最大值為$\frac{sinθ}{cosθ}$=$\frac{3}{4}$；
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線性規(guī)劃問題中最值的求法；關(guān)鍵是正確畫出平面區(qū)域，找出最值點(diǎn)．