Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-x²+ax+b的圖象在點(diǎn)P（0，f（0））處的切線方程為y=3x-2．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x）+

m

x-1

是[2，+∞）上的增函數(shù)．求實(shí)數(shù)m的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），計(jì)算f（x）在點(diǎn)P（0，f（0））處的切線斜率k，由切線方程為y=3x-2，得k=f′（0）=a的值與b的值；
（Ⅱ）由g（x）=f（x）+

m

x-1

是[2，+∞）上的增函數(shù)，可得g′（x）=x²-2x+3-

m

(x-1)2

≥0在[2，+∞）上恒成立，分離參數(shù)m≤（x-1）⁴+2（x-1）²，求出右邊的最小值，即可求實(shí)數(shù)m的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=

1

3

x³-x²+ax+b，
∴f′（x）=x²-2x+a；
又函數(shù)f（x）在點(diǎn)P（0，f（0））處的切線斜率k=f′（0）=a，切線方程為y=3x-2；
∴f′（0）=3，f（0）=-2，即a=3，b=-2；
（Ⅱ）∵g（x）=f（x）+

m

x-1

是[2，+∞）上的增函數(shù)，
∴g′（x）=x²-2x+3-

m

(x-1)2

≥0在[2，+∞）上恒成立，
∴m≤（x-1）⁴+2（x-1）²，
令h（x）=（x-1）⁴+2（x-1）²，則h′（x）=4（x-1）³+4（x-1）≥0
∴h（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，
∴h（x）_min=h（2）=3，
∴m≤3，
∴實(shí)數(shù)m的最大值為3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)圖象上過某點(diǎn)切線方程的斜率，根據(jù)切線方程求函數(shù)解析式的系數(shù)問題，考查恒成立問題，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．