Question

已知x₁、x₂為實(shí)系數(shù)一元二次方程ax²+bx+c=0的兩個虛根，且

x 2 1

x2

∈R，求

x1

x2

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算

專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：求出實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個虛根，根據(jù)

x 2 1

x2

∈R得到一元二次方程ax²+bx+c=0的系數(shù)之間的關(guān)系，代入兩虛根后作比即可求得

x1

x2

的值．

解答： 解：∵x₁、x₂為實(shí)系數(shù)一元二次方程ax²+bx+c=0的兩個虛根，
∴x=

-b± 4ac-b2 i

2a

，
不妨設(shè)x₁=m+ni（m，n∈R），則x₂=m-ni，
由

x 2 1

x2

=

x13

|x1|2

，若

x 2 1

x2

∈R，則x13∈R，
即m³-3m²n+（3m²n-n³）i∈R，
∴3m²n=n³，
∵n≠0，
∴n²=3m²．
即4ac-b²=3b²，ac=b²．
∴x=

-b± 3 bi

2a

，
若x1=

-b+ 3 bi

2a

，則x2=

-b- 3 bi

2a

，

x1

x2

=-

1

2

-

3

2

i；
若x1=

-b- 3 bi

2a

，則x2=

-b+ 3 bi

2a

，

x1

x2

=-

1

2

+

3

2

i．

點(diǎn)評：本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算，考查了實(shí)系數(shù)一元二次方程的虛根成對原理，考查了學(xué)生的計算能力，是中檔題．