Question

設函數f（x）是定義在（-∞，0）上的可導函數，其導函數為f′（x），且有f（x）+xf′（x）＜x，則不等式（x+2014）f（x+2014）+2f（-2）＞0的解集為（　　）

• A、（-∞，-2012）
• B、（-2012，0）
• C、（-∞，-2016）
• D、（-2016，0）

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,導數的運算

專題：導數的綜合應用

分析：根據條件，構造函數，利用函數的單調性和導數之間的關系，將不等式進行轉化即可得到結論．

解答： 解：由f（x）+xf′（x）＜x，x＜0，
即[xf（x）]′＜x＜0，
令F（x）=xf（x），
則當x＜0時，F'（x）＜0，
即F（x）在（-∞，0）上是減函數，
F（x+2014）=（x+2014）f（x+2014），F（-2）=（-2）f（-2），
F（x+2014）-F（-2）＞0，
∵F（x）在（-∞，0）是減函數，
∴由F（x+2014）＞F（-2）得，
∴x+2014＜-2，
即x＜-2016．
故選：C．

點評：本題主要考查不等式的解法，利用條件構造函數，利用函數單調性和導數之間的關系是解決本題的關鍵．