Question

14．如圖，對于正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，給出下列四個結(jié)論：
①直線AC∥平面A₁B₁C₁D₁
②直線AC₁∥直線A₁B
③直線AC⊥平面DD₁B₁B
④直線AC₁⊥直線BD
其中正確結(jié)論的序號為①③④．

Answer 1

分析 ①由AC∥A₁C₁，推導(dǎo)出直線AC∥平面A₁B₁C₁D₁；②以C為原點，CD為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法得直線AC₁與直線A₁B不平行；③推導(dǎo)出AC⊥DD₁，AC⊥BD，從而得到AC⊥平面DD₁B₁B；④由AC⊥BD，BD⊥CC₁，得BD⊥平面ACC₁，從而得到直線AC₁⊥直線BD．

解答 解：正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中
①∵AC∥A₁C₁，AC?平面A₁B₁C₁D₁，A₁C₁?平面A₁B₁C₁D₁，
∴直線AC∥平面A₁B₁C₁D₁，故①正確；
②以C為原點，CD為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，則A（2，2，0），C₁（0，0，2），A₁（2，2，2），B（0，2，0），
$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-2，-2，2），$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（-2，0，-2），$\frac{-2}{-2}≠\frac{0}{2}≠\frac{-2}{2}$，
∴直線AC₁與直線A₁B不平行，故②錯誤；
③∵DD₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥DD₁，
∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵BD∩DD₁=D，∴AC⊥平面DD₁B₁B，故③正確；
④∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵CC₁⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥CC₁，
∵CC₁∩AC=C，∴BD⊥平面ACC₁，
∵AC?平面ACC₁，∴直線AC₁⊥直線BD，故④正確．
故答案為：①③④．

點評 本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．