Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=|2x-1|+|x+1|．
（1）求f（x）≥2的解集；
（2）若函數(shù)f（x）的最小值為m，a，b均為正實(shí)數(shù)，a+b=m，求a²+b²的最小值．

Answer 1

分析 （1）先去掉絕對(duì)值，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，分類(lèi)討論求得f（x）≥2的解集．
（2）根據(jù)函數(shù)的解析式求得函數(shù)f（x）的最小值，再利用基本不等式求得a²+b²的最小值．

解答 解：（1）∵f（x）=|2x-1|+|x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x，x＜-1}\\{-x+2，-1≤x≤\frac{1}{2}}\\{3x，x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{-3x≥2}\\{x＜-1}\end{array}}\right.⇒x＜-1$；由$\left\{{\begin{array}{l}{-1≤x≤\frac{1}{2}}\\{-x+2≥2}\end{array}}\right.⇒-1≤x≤0$；由$\left\{{\begin{array}{l}{x＞\frac{1}{2}}\\{3x≥2}\end{array}}\right.⇒x≥\frac{2}{3}$，
∴不等式f（x）≥2的解集為$\left\{{x|x≤0或x≥\frac{2}{3}}\right\}$．
（2）由函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，根據(jù)函數(shù)的解析式可知，當(dāng)$x=\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為$f（{\frac{1}{2}}）=\frac{3}{2}$，
故有 $a+b=\frac{3}{2}，{（{a+b}）^2}={a^2}+{b^2}+2ab≤2（{{a^2}+{b^2}}）$，可得${a^2}+{b^2}≥\frac{9}{8}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)，
所以a²+b²的最小值為$\frac{9}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查帶有絕對(duì)值的函數(shù)，絕對(duì)值不等式的解法，基本不等式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．