Question

10．設(shè)f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且當(dāng)-1≤x＜0時，f（x）=2x³+5ax²+4a²x+b．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；  
（2）當(dāng)1＜a≤3時，求函數(shù)f（x）在（0，1]上的最大值g（a）．

Answer 1

分析 （1）利用題中所給函數(shù)的解析式首先求得函數(shù)在（0，1]上的解析式，然后結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)和題意即可求得最終結(jié)果；
（2）首先求解導(dǎo)函數(shù)，然后結(jié)合導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系分類討論，將最大值寫成分段函數(shù)的形式即可．

解答 解：（1）當(dāng)0＜x?1時，-1?-x＜0，則
f（x）=-f（-x）=2x³-5ax²+4a²x-b．
當(dāng)x=0時，f（0）=-f（-0）∴f（0）=0；
據(jù)此可得函數(shù)的解析式為：
$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{3}-5a{x}^{2}+4{a}^{2}x-b（0＜x≤1）}\\{0，x=0}\\{2{x}^{3}+5a{x}^{2}+4{a}^{2}x+b（-1≤x＜0）}\end{array}\right.$．
（2）當(dāng)0＜x?1時，f′（x）=6x²-10ax+4a²=2（3x-2a）（x-a）．據(jù)此分類討論：
①當(dāng) $\frac{2}{3}＜\frac{2a}{3}＜1，1＜a＜\frac{3}{2}$時：
當(dāng)$x∈（0，\frac{2a}{3}）$ 時，f′（x）＞0，當(dāng)$x∈（\frac{2a}{3}，1）$ 時，f′（x）＜0，
∴f（x）在$（0，\frac{2a}{3}）$ 單調(diào)遞增，在$（\frac{2a}{3}，1）$ 上單調(diào)遞減，
∴$g（a）=f（\frac{2a}{3}）=\frac{28}{27}{a}^{3}-b$．
②當(dāng) $1≤\frac{2a}{3}≤2，\frac{3}{2}≤a≤3$時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，1]單調(diào)遞增．
∴g（a）=f（1）=4a²-5a+2-b，
∴$g（a）=\left\{\begin{array}{l}{\frac{28}{27}{a}^{3}-b（1＜a＜\frac{3}{2}）}\\{4{a}^{2}-5a+2-b（\frac{3}{2}≤a≤3）}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)解析式的求解，奇函數(shù)的性質(zhì)，分類討論的數(shù)學(xué)思想，導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的方法等，重點(diǎn)考查學(xué)生對基礎(chǔ)概念的理解和計(jì)算能力，屬于中等題．