【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,AB=PA=4,A點(diǎn)在PD上的射影為G點(diǎn),E點(diǎn)在AB上,平面PCE⊥平面PCD.
(1)求證:AG⊥平面PCD;
(2)求直線(xiàn)PD與平面PCE所成角的正弦值.

【答案】
(1)證明:∵CD⊥AD,CD⊥PA,AD∩PA=A

∴CD⊥平面PAD∴CD⊥AG,

又PD⊥AG,CD∩PD=D

∴AG⊥平面PCD


(2)解:如圖建立坐標(biāo)系,則P(0,0,3),C(4,4,0),D(0,4,0),G(0,2,2),

設(shè)E(a,0,0),由(1)知: 是面PCD的法向量,

,設(shè)面PCE的法向量為 ,

,取x=4,得:

因平面PCE⊥平面PCD, ,∴a=2,即:

,設(shè)PD與面PCE所成的角為θ,

則:


【解析】(1)先證明出CD⊥平面PAD,進(jìn)而可推斷出CD⊥AG,然后利用AG⊥PD,根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理證明出結(jié)論.(2)建立坐標(biāo)系,先求出面PCE的法向量,再利用向量的夾角公式求出直線(xiàn)PD與平面PCE所成角的正弦值.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用直線(xiàn)與平面垂直的判定和空間角的異面直線(xiàn)所成的角的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案,需要掌握一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直,則該直線(xiàn)與此平面垂直;注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線(xiàn)”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線(xiàn)與平面垂直”與“直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想;已知為兩異面直線(xiàn),A,C與B,D分別是上的任意兩點(diǎn),所成的角為,則

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(2)在(1)的條件下,試問(wèn):怎樣分配這100萬(wàn)元資金,才能使公司獲得最大利潤(rùn)?其最大利潤(rùn)為多少萬(wàn)元?

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