Question

16．已知函數(shù)f（x）=|x+1|+ax，（a∈R）．
（1）當a=0，2時，分別畫出函數(shù)f（x）的圖象．
（2）若函數(shù)f（x）是R上的單調函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將函數(shù)解析式寫出分段函數(shù)，然后作圖；
（2）將函數(shù)解析式寫出分段函數(shù)后，令每一段上均為單調減函數(shù)函數(shù)，且第一段最小值大于或大于第二段的最大值，或每一段上均為增函數(shù)，且第一段上最大值小于或等于第二段的最小值．

解答 解：（1）當a=0時，f（x）=|x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，x≥-1}\\{-x-1，x＜-1}\end{array}\right.$
作出函數(shù)圖象如圖：

當a=2時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3x+1，x≥-1}\\{x-1，x＜-1}\end{array}\right.$，
作出函數(shù)圖象如圖：

（2）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（1+a）x+1，x≥-1}\\{（-1+a）x-1，x＜-1}\end{array}\right.$．
①若f（x）是增函數(shù)，則$\left\{\begin{array}{l}{1+a＞0}\\{-1+a＞0}\\{-（1+a）+1≤-（-1+a）-1}\end{array}\right.$，
解得a＞1．
②若f（x）是減函數(shù)，則$\left\{\begin{array}{l}{1+a＜0}\\{-1+a＜0}\\{-（1+a）+1≥-（-1+a）-1}\end{array}\right.$，
解得a＜-1．
綜上所述：實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-1）∪（1，+∞）．

點評 本題考查了分段函數(shù)的圖象和單調性，是中檔題．