16.已知函數(shù)f(x)=|x+1|+ax,(a∈R).
(1)當a=0,2時,分別畫出函數(shù)f(x)的圖象.
(2)若函數(shù)f(x)是R上的單調(diào)函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.

分析 (1)將函數(shù)解析式寫出分段函數(shù),然后作圖;
(2)將函數(shù)解析式寫出分段函數(shù)后,令每一段上均為單調(diào)減函數(shù)函數(shù),且第一段最小值大于或大于第二段的最大值,或每一段上均為增函數(shù),且第一段上最大值小于或等于第二段的最小值.

解答 解:(1)當a=0時,f(x)=|x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{x+1,x≥-1}\\{-x-1,x<-1}\end{array}\right.$
作出函數(shù)圖象如圖:

當a=2時,f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{3x+1,x≥-1}\\{x-1,x<-1}\end{array}\right.$,
作出函數(shù)圖象如圖:

(2)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{(1+a)x+1,x≥-1}\\{(-1+a)x-1,x<-1}\end{array}\right.$.
①若f(x)是增函數(shù),則$\left\{\begin{array}{l}{1+a>0}\\{-1+a>0}\\{-(1+a)+1≤-(-1+a)-1}\end{array}\right.$,
解得a>1.
②若f(x)是減函數(shù),則$\left\{\begin{array}{l}{1+a<0}\\{-1+a<0}\\{-(1+a)+1≥-(-1+a)-1}\end{array}\right.$,
解得a<-1.
綜上所述:實數(shù)a的取值范圍是(-∞,-1)∪(1,+∞).

點評 本題考查了分段函數(shù)的圖象和單調(diào)性,是中檔題.

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