Question

20．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinθ，1），$\overrightarrow$=（cosθ，2），滿足$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow$，其中θ∈（0，$\frac{π}{2}$）
（1）求sinθ和cosθ）的值；
（2）若cos（θ+φ）=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$（0＜φ＜$\frac{π}{2}$），求cos（φ+$\frac{π}{2}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，得2sinθ-cosθ=0，由此利用同角三角函數關系式能求出結果．
（2）推導出sin（θ+φ）=$\frac{1}{3}$，求出sinφ=sin（θ+φ-θ），由此利用cos（φ+$\frac{π}{2}$）=-sinϕ，能求出結果．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）∵$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，∴2sinθ-cosθ=0．①…（2分）
又sin²θ+cos²θ=1．②…（4分）
則由①②及$θ∈（0，\frac{π}{2}）$，可解得$sinθ=\frac{{\sqrt{5}}}{5}，cosθ=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．…（6分）
（2）由cos（θ+φ）=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$（0＜φ＜$\frac{π}{2}$），得sin（θ+φ）=$\frac{1}{3}$，…（7分）
sinφ=sin（θ+φ-θ）
=sin（θ+φ）cosθ-cos（θ+φ）sinθ
=$\frac{1}{3}×\frac{2\sqrt{5}}{5}-（-\frac{2\sqrt{2}}{3}）×\frac{\sqrt{5}}{5}$
=$\frac{2\sqrt{5}+2\sqrt{10}}{15}$，…（10分）
∴cos（φ+$\frac{π}{2}$）=-sinϕ=$-\frac{{2\sqrt{5}+2\sqrt{10}}}{15}$…（12分）

點評 本題考查三角函數值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意平面向量平行的性質、同角三角函數關系式、正弦加法定理、誘導公式的合理運用．