Question

對于四面體ABCD，以下命題中，真命題的序號為

 

（填上所有真命題的序號）
①若AB=AC，BD=CD，E為BC中點，則平面AED⊥平面ABC；
②若AB⊥CD，BC⊥AD，則BD⊥AC；
③若所有棱長都相等，則該四面體的外接球與內切球的半徑之比為2：1；
④若以A為端點的三條棱所在直線兩兩垂直，則A在平面BCD內的射影為△BCD的垂心；
⑤分別作兩組相對棱中點的連線，則所得的兩條直線異面．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用,異面直線的判定,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：①直接由面面垂直的判定證明平面AED⊥平面ABC；
②通過四面體的兩組相對棱互相垂直，借助于底面三角形的垂心證明第三對相對棱垂直；
③由二級結論正四面體外接球與內切球與正四面體高的關系得四面體的外接球與內切球的半徑之比為3：1，從而說明③錯誤；
④由已知條件證明三角形BCD每一個頂點與A的射影的連線垂直于對邊，說明A在平面BCD內的射影為△BCD的垂心；
⑤由三角形的中位線平行于底邊，說明命題⑤錯誤．

解答： 解：如圖，
對于①，∵AB=AC，BD=CD，E為BC中點，
∴AE⊥BC，DE⊥BC，
又AE∩ED=E，
∴BC⊥面AED，
∴面AED⊥平面ABC．
∴命題①正確；
對于②，過A作底面BCD的垂線AO，垂足為O，
連結BO并延長交CD于F，連結DO并延長交BC于E，
由線面垂直的判定可以證明BF⊥CD，DE⊥BC，從而可知O為底面三角形的垂心，
連結CO并延長交BD于G，則CG⊥BD，再由線面垂直的判斷得到BD⊥面ACG，從而得到BD⊥AC．
∴命題②正確；
對于③，若所有棱長都相等，四面體為正四面體，該四面體的外接球半徑是四面體高的四分之三，
內切球的半徑是四面體高的四分之一，∴該四面體的外接球與內切球的半徑之比為3：1．
∴命題③錯誤；
對于④，若AB⊥AC⊥AD，過A作底面BCD的垂線AO，垂足為O，
由AB⊥AC，AB⊥AD，且AC∩AD=A，得AB⊥面ACD，則AB⊥CD，進一步由線面垂直的判定證得CD⊥面ABO，
則BO⊥CD，同理可證CO⊥BD，說明O為△BCD的垂心．命題④正確；
對于⑤，如圖，
∵E、F、G、H分別為BC、AC、BD、AD的中點，
∴HF∥DC，GE∥DC，
∴EFHG為平面四邊形．
∴命題⑤錯誤．
∴真命題的序號是①②④．
故答案為：①②④．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，綜合考查了線面、面面垂直的判斷與性質，考查了學生的空間想象能力，是中檔題．