Question

（2010•莆田模擬）已知函數(shù)f（x）=

1

3

x3-(a-1)x2+4ax，（a∈R）
（1）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的值；
（2）若a＞1，且函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，4]上的最大值為

16

3

，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)為0，根據(jù)函數(shù)的極值點，求出a的值即可．
（2）通過導(dǎo)數(shù)為0，結(jié)合a的范圍，與函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最大值，推出

a＞1 4＞2a f(4)≥f(2)

，進而求出變量a的范圍．

解答：解：f′（x）=x²-2（a+1）x+4a，
（1）因為函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，
所以f′（0）=4a=0，得a=0，
又當a=0時，f′（x）=x²-2x，所以當x＜0時 f′（x）＞0，f（x）在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞增，
當0＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減．
綜上當a=0時，f（x）在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞增，f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減．
（2）令f′（x）=0，得x₁=2，x₂=2a，因為a＞1，所以x₁＜x₂，
當x變化時，f（x）的值的變化情況如下：
注意到x∈[0，4]且f（2）=4a-

4

3

，f（4）=

16

3

．
因為f（x）在[0，4]上的最大值為

16

3

．
若2a≥4，即a≥2時，f（x）在[0，4]上的最大值為：f（2）=4a-

4

3

≥

20

3

＞

16

3

．不合題意．
所以

a＞1 4＞2a f(4)≥f(2)

，
即

1＜a＜2 4a- 4 3 ≤ 16 3

解得1＜a≤

5

3

．

點評：本題主要考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性及函數(shù)的極值之間的關(guān)系的應(yīng)用，求函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數(shù)在（a，b）內(nèi)所有極值與端點函數(shù)f（a），f（b） 比較而得到的．函數(shù)與方程之間的相互轉(zhuǎn)化的思想的應(yīng)用．