Question

11．已知函數(shù)f（x）=|x+1|+|m-x|（其中m∈R）．
（1）當(dāng)m=2時，求不等式f（x）≥6的解集；
（2）若不等式f（x）≥6對任意實數(shù)x恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)m=2時，f（x）≥6，即|x-2|+|x+1|≥6，通過討論x的范圍，從而求得不等式f（x）≥6的解集；
（2）由絕對值不等式的性質(zhì)求得f（x）的最小值為|m+1|，由題意得|m+1|≥6，由此求得m的范圍．

解答 解：（1）m=2時，f（x）≥6，即|x-2|+|x+1|≥6，
x＜-1時，-2x+1≥6，即x≤-$\frac{5}{2}$，故x≤-$\frac{5}{2}$，
-1≤x≤2時，得：3≥6不成立，
x＞2時，得：2x-1≥6，即x≥$\frac{7}{2}$，故x≥$\frac{7}{2}$，
故不等式的解集是{x|或x≤-$\frac{5}{2}$x≥$\frac{7}{2}$}；
（2）f（x）=|x+1|+|m-x|≥|（x+1）+（m-x）|=|m+1|，
由題意得|m+1|≥6，
則m+1≥6或m+1≤-6，解得：m≥5或m≤-7，
故m的范圍是（-∞，-7]∪[5，+∞）．

點評 本題主要考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．