Question

設(shè)A_n為（1+x）ⁿ⁺¹的展開式中含x^n-1項的系數(shù)，B_n為 （1+x）^n-1的展開式中二項式系數(shù)的和，n∈N^*，則能使A_n≥B_n成立的n的最大值是

 

．

Answer 1

考點：二項式系數(shù)的性質(zhì)

專題：計算題

分析：由題意可得，A_n=

C

n-1 n+1

=

C

2 n+1

，Bn=2n-1，若使得A_n≥B_n，即n（n+1）≥2ⁿ，可求n

解答： 解：∵（1+x）ⁿ⁺¹的展開式的通項為T_r+1

=C

r n+1

xr
由題意可得，A_n=

C

n-1 n+1

=

C

2 n+1

，Bn=2n-1
∵A_n≥B_n
∴

C

2 n+1

≥2n-1即n（n+1）≥2ⁿ
當(dāng)n=1時，1×2≥2，滿足題意
當(dāng)n=2時，2×3≥2²，滿足題意
當(dāng)n=3時，3×4≥2³，滿足題意
當(dāng)n=4時，4×5≥2⁴，滿足題意
當(dāng)n=5時，5×6＜2⁵，不滿足題意，且由于指數(shù)函數(shù)比二次函數(shù)增加的快
故當(dāng)n≥5時，n（n+1）＜2ⁿ
∴n=4
故答案為：4

點評：本題主要考查了二項展開式的通項的應(yīng)用，二項展開式的性質(zhì)的應(yīng)用及不等式、指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的增加速度的快慢的應(yīng)用．