Question

1．如果實(shí)數(shù)x，y 滿足條件$\left\{\begin{array}{l}x+3y-3≤0\\ x≥0\\ y≥0\end{array}\right.$，那么$z=\frac{x+y-6}{x-4}$的取值范圍是[$\frac{5}{4}，3$]．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，$z=\frac{x+y-6}{x-4}$=$1+\frac{y-2}{x-4}$，其幾何意義為可行域內(nèi)的動點(diǎn)與定點(diǎn)M（4，2）連線的斜率加1．求出MA，MB所在直線的斜率得答案．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}x+3y-3≤0\\ x≥0\\ y≥0\end{array}\right.$作出可行域如圖，

A（3，0），B（0，1），
$z=\frac{x+y-6}{x-4}$=$1+\frac{y-2}{x-4}$，其幾何意義為可行域內(nèi)的動點(diǎn)與定點(diǎn)M（4，2）連線的斜率加1．
∵${k}_{MA}=\frac{2-0}{4-3}=2，{k}_{MB}=\frac{2-1}{4-0}=\frac{1}{4}$，
∴$z=\frac{x+y-6}{x-4}$的取值范圍是[$\frac{5}{4}，3$]．
故答案為：[$\frac{5}{4}，3$]．

點(diǎn)評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．