Question

如圖，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，則棱長為3，底面邊長為2，E是棱BC的中點(diǎn)．
（I）求異面直線AA₁和BD₁所成角的大��；
（II）求證：BD₁∥平面C₁DE；
（III）求二面角C₁-DE-C的大�。�

Answer 1

分析：（I）∠B₁BD₁是異面直線AA₁和BD₁所成的角，解直角三角形，求出此角的大�。�
（II）連接CD₁，與C₁D相交于O，連接EO，由三角形中位線的性質(zhì)得 EO∥BD₁，由線線平行證明線面平行．
（III）根據(jù)三垂線定理找出二面角的平面角，并證明之，把此角放在直角三角形C₁CH中，利用直角三角形中的邊角關(guān)系，
求出此角的大�。�

解答：（本小題滿分14分）
解：（I）解：
連接B₁D₁．
∵在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁∥BB₁，
∴∠B₁BD₁是異面直線AA₁和BD₁所成的角．（2分）
即在側(cè)棱BB₁上不存在點(diǎn)P，使得CP⊥平面C₁DE．（14分）
在△B1BD 1中，B1D1=2

2

，∴tanB1BD1=

B1D1

B1B

=

2 2

3

，
即異面直線AA₁和BD₁所成角的大小為arctan

2 2

3

.（4分）

（II）證明：
連接CD₁，與C₁D相交于O，連接EO．
∵CDD₁C₁是矩形，
∴O是CD₁的中點(diǎn)，
又E是BC的中點(diǎn)，
∴EO∥BD₁．（2分）
又BD₁?平面C₁DE，EO?平面C₁DE，
∴BD₁∥平面C₁DE．（4分）

（III）解：
過點(diǎn)C作CH⊥DE于H，連接C₁H．
在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，CC₁⊥平面ABCD，
∴C₁H⊥DE，
∠C₁HC是二面角C₁-DE-C的平面角．（11分）
在△CDE中，CD=2，CE=1，∴CH=

CD•CE

DE

=

2

5

.
在△C₁CH中，CC₁=3，∴tanC1HC=

CC1

CH

=

3 5

2

，（13分）
∴二面角C₁-DE-C的大小為arctan

3 5

2

.（14分）

點(diǎn)評：本題考查異面直線所稱的角的求法，證明線面平行的方法，以及求二面角的大小的方法．